Raúl da Costa konzertierte als Solist in den renommiertesten Konzertsälen Europas sowie bei zahlreichen Festivals, u. a. im Palau de la Música Catalana, bei Radio France, im Konzerthaus Berlin, beim Kammermusikfest Lockenhaus und in der Franz-Liszt-Musikakademie in Budapest. Er ist ein vielseitig interessierter Künstler, der sich intensiv der Klavierkammermusik und der zeitgenössischen Musik widmet. Er tritt mit Musikerinnen und Musikern wie Anja Lechner, Sergei Nakariakov, Christoph Poppen, Daniel Hope oder Bruno Monsaingeon auf und arbeitet mit den Komponisten Valentin Silvestrov, Francisco Coll und Thomas Adès zusammen. Ihn verbindet zudem eine Zusammenarbeit mit Daniel Barenboim, Maria João Pires, Dmitri Bashkirov, Ferenc Rados, Malcolm Bilson und Manfred Eicher.
Raúl da Costa ist Stipendiat der Yamaha Europe Foundation, der Stiftung Yehudi Menuhin Live Music Now, der Gulbenkian Foundation und der Carl Bechstein Stiftung.
Live-Aufnahmen spielte er für portugiesische und europäische Radio- und Fernsehsender ein, darunter für den NDR, den SWR und Deutschlandfunk sowie für Radio France und Deutsche Grammophon. Seine Live-Aufnahme von Rachmaninows 4. Klavierkonzert mit dem Porto Symphony Orchestra und Stefan Blunier wurde auf CD veröffentlicht.
Nach dem Abitur im Jahr 2011 begann er an der Hochschule für Musik, Theater und Medien Hannover in der Klavierklasse von Prof. Karl-Heinz Kämmerling und Prof. Bernd Goetzke zu studieren. Danach setzte er sein Studium an der Hochschule für Musik Hanns Eisler bei Prof. Kirill Gerstein fort.
Raúl da Costa übernahm 2018 die künstlerische Leitung des renommierten Festival Internacional de Música da Póvoa de Varzim und brachte in den letzten Jahren zahlreiche bekannte Künstlerinnen und Künstler nach Portugal, darunter Isabelle Faust, Maria João Pires, Arcadi Volodos, das Artemis Quartett, das Gabrieli Consort, Gidon Kremer und Albrecht Mayer.